Öklid’in Elementleri: Genel Bir Bakış

Geometriye giden bir kraliyet yolu yok. (Ptolamy I Soter, Öklid’in elementlerini öğrenmenin daha kısa bir yolu olup olmadığını sorduğunda söyledikleri)

Öklid

MÖ 330 – 275 yılları arasında yaşamış İskenderiyeli matematikçi Öklid, geometri denilince akla gelen ilk isimdir ve “geometrinin babası” olarak bilinir. Eğitimini Platon’un kurduğu ve kapısında “Geometri bilmeyen giremez” yazılı Platon Akademisi’nde tamamlamıştır.

Eğitimini tamamladıktan sonra İskenderiye’de büyük bir matematik okulu açan ve o dönemde matematikle ilgilenen herkesin gözdesi olan Öklid, kendinden önce matematikle ilgilenmiş Tales, Pisagor, Platon ve Aristoteles gibi matematikçileri örnek alarak 13 ciltlik kitabı Elementler’i kaleme almıştır. O zamana kadar yazılmış en kapsamlı kitap olan Elementler, iki bin yıl boyunca matematikçilerin çalışmalarında esas aldığı kaynak olmuştur.

Öklid’in Elementleri

Elementler, MÖ 300 yıllarında papirüsler üzerine yazıldığı düşünülen geometri, oranlar ve sayılar kuramı kitabıdır. Nesilden nesile papirüslerde yazılarak çoğaltılan Elementler, zamanla kitap formatını almış ve kitap formatında çoğaltılmıştır. Çoğaltıldığı esnada her matematikçinin kendine göre çıkarım yaparak eser üzerinde düzeltmeler yaptıkları bilinmektedir.

Dokuzuncu yüzyılda yazılmış ve Vatikan Kütüphanesi’nde bulunan bir el yazması, bugüne kadar Elementler’in orijinaline en yakın ve en eski el yazması olarak sergilenmektedir. Elementler için yapılan tüm çeviriler, eser üzerinde yapılmış tüm ekleme ve çıkartmaları yok sayarak Öklid’den yaklaşık olarak bin iki yüz yıl sonra yazılmış bu el yazmasını esas alarak hazırlanır.

Her önermenin kendinden önceki önermeden çıkarılması ve geometri bilgilerinin, bilgi sunmanın yanında bu bilgileri sistematik bir biçimde sunması Elementler’i önemli kılan özelliklerdendir. Kitap içerisinde yer alan bilgiler belli bir akıl yürütme düzenini ve daha önceki kanıtlanmış bilgileri kullanarak yeni bilgilere ulaşma sentezini kullanarak oluşturulmuştur.

Kitaba başlamadan önce daha sonraki kanıtların dayanacağı ilk kanıtlar olması anlamında Elementler’in ilk kitabında, geometriye özgü 10 aksiyomdan bahsedilmektedir. Bu aksiyomların 5’i ortak kanı, diğer 5’i postulatlar olarak verilmektedir. Bu aksiyomlar kendinden sonraki ispatların yapılması anlamında büyük önem taşımaktadır.

Ortak Kanılar:
1. Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine de eşittir.
2. Eğer eşit olan şeylere eşit şeyler eklenirse elde edilen bütünler de eşittir.
3. Eğer eşit şeylerden eşit şeyler çıkarılırsa kalanlar da eşittir.
4. Birbirleriyle örtüşen (çakışan) şeyler birbirine eşittir.
5. Bütün, parçalarından büyüktür.

Öklid’in Postulatları:
1. Herhangi bir noktadan herhangi başka bir noktaya bir doğru çizmek mümkündür.
2. Bir tane doğru parçasını her iki yöne de sürekli bir şekilde uzatmak mümkündür.
3. Herhangi bir merkez ve herhangi bir yarıçap ile bir çember tanımlamak mümkündür.
4. Bütün dik açıların birbirine eşittir.
5. Eğer bir doğru iki doğruyu kestiğinde bu doğrunun aynı tarafındaki iç açılar iki dik açıdan küçükse, bu iki doğru o yönde uzatıldıklarında kesişir.

Elementlerin İçeriği

Öklid’in Elementler’i 13 kitaptan oluşmaktadır ve her kitapta farklı konular ele alınmaktadır. Düzlem geometrisi, aritmetik, irrasyonel sayılar, sayılar kuramı ve katı cisimler geometrisi, Öklid’in ele aldığı başlıca konulardır. Kitabın içeriği ise şu şekildedir:

I. Düzlem Geometrinin Temelleri: Doğrular
II. Geometriye İlişkin Hesapların Temelleri
III. Düzlem Geometrinin Temelleri: Çemberler
IV. Çemberlerin İçine ve Dışına Çizilen Şekiller
V. Oranlar
VI. Benzer Şekiller
VII. Temel Sayılar Kuramı
VIII. Sürekli Oranlar
IX. Sayılar Kuramının Uygulamaları
X. Eşölçeksiz Nicelikler
XI. Uzay Geometrisi
XII. Uzay Geometrisinde Oranlar
XIII. Platonik Cisimler

Kitaplar içerisinde verilen önermeler herhangi bir simgeye veya şekle bağlı olmaksızın tamamen sözel olarak verilir. Kanıtlanacak bilgide ilk olarak şekil üzerinde önermenin ne olduğu açıklanır, kanıta geldiğinde Öklid, “Diyorum ki,” diye başlayan cümleleri ile şekil üzerinde ispatlar yapar.

Öklid geometrisi 20. yüzyılın ortalarına kadar geometri derslerinde okutulmuştur. Elementler’in Batı düşüncesi üzerindeki etkisinin Kitâb-ı Mukaddes’ten sonra ikinci sırada yer aldığı söylenmektedir. Ünlü filozof Bertrard Arthur William Russell, Elementler’in Bugüne kadar yazılmış en büyük kitap olduğunu savunmaktadır. Einstein ise Elementler ile ilgili görüşünü şu sözlerle dile getirmektedir: “Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabileceği hayaline kapılmasın.”

İlk başlarda önermeleri anlamak zordur fakat elinize kâğıt-kalem alıp önermeler üzerinde kafa yorarak ve çalışmalarınızı zamana yayarak Elementler’i okumanız anlamanız için yararlı olacaktır. Yazımı İbn-i Haldun’un sözleriyle burada noktalıyorum: “Geometri zekâyı aydınlatır ve aklı doğru yola sokar. Onun bütün kanıtları açık ve düzenlidir. Çok iyi düzenlendiğinden geometrik mantık yürütmeye hata girmesi neredeyse imkânsızdır. Bu nedenle sürekli geometriye başvuran bir aklın hataya düşmesi çok nadirdir. Buna göre de geometri bilen kişi zekâ kazanır. Eflatun’un kapısında aşağıdaki sözlerin yazılı olduğu nakledilir. ‘Geometrici olmayan evimize giremez.’”-Öklid’in Elementleri-

Kaynak ve elementler hakkında daha detaylı bilgi için:
Ali Sinan Sertöz, Öklid’in Elemanları, TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları

Uzayla – Kültür Evreni